Há pessoas que não concordam com o que está proposto no título desta postagem. Acham que é preciso entender e não decorar… Mas em que momento alguém disse ou escreveu que estas coisas são mutuamente excludentes? É preciso entender o que está estudando e muitas vezes e, na sequência, é preciso decorar, memorizar, lembrar a propriedade que está sendo objeto de estudo e é sobre isso que quero discorrer neste texto.
E não há problemas em usar os dedos para ajudar… :-D
Eu iria até um pouco além… O professor Gilberto Garbi publicou na RPM 68 (Revista do Professor de Matemática 68) um artigo cujo título é Decorar é Preciso Demonstrar Também é e você pode encontrar este artigo AQUI. O professor critica a falta de demonstração dos teoremas matemáticos no ensino de matemática e nisso estamos de acordo. Divergimos em relação à matemática ser a Rainha das Ciências, pois, pra mim, matemática não é ciência. ;-) Veja esta postagem em que falo de Matemática NÃO ser uma Ciência.
Nosso foco neste texto não é falar das demonstrações e sim da necessidade de decorar ou seja, de memorizar o estudado. Vou lhe contar uma breve história que aconteceu comigo.
O que aprendi com o Kumon
Um disclaimer inicial: não estou ganhando nada para falar do Método Kumon. Dito isso, quando eu tinha pouco mais de 20 anos (já faz muuitooo tempo… quase 30 anos atrás) eu ouvi de um pai de estudante que o filho tinha muita dificuldade e que ele tinha sido matriculado no Kumon e que tinha tido uma transformação e consequentemente, melhorado muito…
Eu era professor há pouco tempo e em sala de aula eu via estudante com dificuldade para entender matemática e queria entender que método era usado o Kumon, pois eu queria aprender para poder usar com os meus estudantes, mas não conhecia ninguém que sabia me dar esta resposta. Então procurei uma unidade da franquia e me matriculei.
Eu era o único adulto no meio de uma porção de crianças… Era estranho, mas eu queria saber o que havia lá. Bom, no primeiro dia a moça que atendia aos estudantes me deu um caderninho com uma porção de continhas simples:
8+4= 3+7= 5+8= 8+4= 9+5= 8+6=
e assim por diante. Era um caderninho com uma infinidade destas continhas para fazer. Havia um tempo (acho que era 12 min) para fazer todo o caderno. Eu tinha que fazer certo e fazer rápido.
Aqui vou abrir um parênteses para o 8+6 e explicar o caminho mental que eu fazia, mesmo depois de adulto, para encontrar essa soma. Eu não tinha o resultado pronto. Todas as vezes que eu tinha que saber quanto dava 8+6 eu fazia o seguinte caminho mental: adicionava 2 ao 8 para ficar com 10+6 e este sim eu sabia de cabeça que dava 16 e depois eu retirava o 2 que eu tinha adicionado e encontrava 16-2=14 e daí concluía que 8+6=14.
Entretanto, resolvendo um caderninho atrás do outro com várias continhas para fazer eu reconheço que em algum momento eu pude abandonar este caminho mental, pois quando eu via 8+6 em minha frente eu já lembrava do 14. Há quem critique este método de repetição, mas quer saber? Funciona… Eu consegui baixar o meu tempo para menos de 12 min e aí recebi um outro caderninho com outras continhas para fazer… Lembro-me que as continhas já eram com numerais com dois algarismos colocadas na vertical… Algo como
012
+15
——
Não havia um método que eu pudesse transpor para a sala de aula. Não era uma forma de ensinar no sentido de um método que o estudante ouvia, entendia e pronto. Está aprendido. Talvez uma forma de ensinar que consistia no estudante passar tantas vezes por uma mesma situação em que ao longo do tempo as soluções daqueles problemas pudessem ser acessados de forma praticamente automática, sem precisar pensar sobre aquilo. Algo como eu ver 8+6 e o 14 já vir à minha mente automaticamente. Quando ver 5x8 já vem o 40 à mente, isto é, não precisar lembrar que 5x8 é o 8 adicionado com ele mesmo 5 vezes, ou seja, $$8+8+8+8+8=16+16+8=32+8=40,$$ ou que $5x8=8x5$, ou seja 8 vezes o 5, isto é, o 5 adicionado com ele mesmo 8 vezes, como em $$5+5+5+5+5+5+5+5$$ e aí você pode agrupar dois cinco e perceber que é o mesmo que $$10+10+10+10=40.$$ Em algum momento o estudante pode e deve entender o porquê de 5x8=40, mas depois disso, ele precisa lembrar, precisa ter decorado, memorizado que 5x8 é igual a 40 e esta resposta está à sua disposição, mentalmente falando, sem que precise acessar algum caminho mental para chegar até ela.
A tabuada clássica da aritmética deve ser decorada
E a tabuada clássica, das operações básicas da aritmética é algo que precisa estar na cabeça do estudante com os resultados na ponta da língua, como eu ouvia muito quando era criança. É PRECISO DECORAR. Ah, mas hoje tem calculadoras que fazem este cálculo, MAS PRECISA DECORAR todas as tabuadas da aritmética. Eu diria que nem é só a de 0 a 10 e sim de 0 a 12. Você não pode pedir uma calculadora todas as vezes que precisar saber, por exemplo, quanto é 7x8. A propósito, meu pai até fez uma musiquinha para eu lembrar que 7x8 era 56, pois ele me tomava a tabuada e eu sempre errava esta. Meu saudoso pai… :’/ Enfim…
Outras Tabuadas - Ensino Superior
Esta seção é dedicada a pessoas que estudaram, estudam ou pretendem estudar matemática na universidade. Normalmente se tem isso em cursos de matemática, física, química, um pouco em biologia, e nas diversas engenharias, ou… Se você é um entusiasta da matemática, esta seção também é pra você. :-D
Eu não diria que as tabuadas da aritmética são as únicas coisas que precisa decorar. Quem estuda Cálculo Diferencial e Integral, normalmente isso ocorre em cursos superiores,, tem algumas respostas que precisam estar na ponta da língua. Eu diria que há uma Tabuada de Derivadas, por exemplo, que a resposta deve ser memorizada, decorada, estar na ponta da língua.
Se você se deparar com a Derivada da tangente não é para ficar pensando que $$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$ e aí você pode usar a regra do quociente etc etc. Não não… É preciso saber que derivada da tangente é secante ao quadrado e ponto final. Em um momento da sua vida, sim, você vai escrever o passo a passo para entender o porquê de $$D_x[\tan(x)]=\sec^2(x),$$ mas entendido isso, é preciso que saiba isso de cor1. Eu escrevi algumas tabuadas de Derivadas para ajudá-los a treinar essas derivadas e trazer elas para a memória.
Estas Tabuadas de Derivadas foram escritas de modo que na primeira o estudante deve memorizar as derivadas de seis funções, na segunda acrescentamos mais quatro e na terceira colocamos um número maior de funções que você deve saber de cor (decorado).
Entenda o seguinte: não é que você vai aceitar os resultados antes de uma demonstração. Não é isso… Uma vez na vida, você deve sim ver a demonstração que mostra que D[sen(x)]=cos(x). Entenda a demonstração e depois DECORE que Derivada do Seno é o Cosseno. A seguir estão as funções e suas derivadas que os estudantes de Cálculo Diferencial precisam ter decorado / memorizado / saber de cor.
$$\begin{array}{rcl}
\mbox{Função}&&\mbox{Sua Derivada}\\
D_x[k]&=&0\\
D_x[x^n]&=&n.x^{n-1}\\
D_x[\ln |x|]&=&\frac{1}{x}\\
D_x[\sin(x)]&=&\cos(x)\\
D_x[\cos(x)]&=&-\sin(x)\\
D_x[e^x]&=&e^x
\end{array}$$
Eu também escrevi algumas tabuadas de integrais, mas esta postagem já está um pouco longa e eu posso disponibilizá-las depois.
Conclusão
Eu penso que há resultados que devem estar disponíveis mentalmente, independente de hoje em dia termos tecnologia à disposição para obter eles de prontidão em sua mão. Saber esses resultados lhe dá autonomia para caminhar em raciocínios mais complexos sem ter que parar a todo o momento para saber quanto é o resultado de uma operação aritmética ou a derivada de alguma função básica. Se precisar da derivada, por exemplo, de uma função mais complexa2 use um sistema computacional para agilizar os cálculos.
Entenda que a defesa aqui não é que tudo seja feito de forma manual. Não mesmo e quero escrever sobre isso depois (uso de recursos computacionais no ensino de matemática). A defesa é que se tenha memorizado o básico necessário para construir um raciocínio lógico em que não se tenha que parar a todo instante para se ter respostas de coisas básicas. ;-)
É isso… Um grande abraço.
Luís Cláudio LA
-----------------------------------------------------------
Rodapé
A expressão "saber de cor" significa saber algo bem, recorrendo à memória, sem precisar fazer esforço ou pensar muito.
A palavra "cor" vem do latim cor, cordis, que significa "coração". Na antiguidade, acreditava-se que o coração era o órgão responsável pelo pensamento e pela memória. Por isso, "saber de cor" significa "saber de coração".
A expressão "saber de cor" surgiu na França, em meados do século XVI, como "savoir par coeur".
Função complexa aqui não está fazendo referência a funções que envolvem unidade imaginária e sim funções que envolvem composição com outras e uma pilha de operações. O complexa é neste sentido, ok? ;-)
Postar um comentário